二分图就不赘述了,我在知识资料整理有相关资料。
.最大匹配 .最小路径覆盖 .最小点覆盖 .最大独立集
最大匹配:二分图中边集最大的那个匹配
最小路径(边)覆盖:用尽量小的不想交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点
最小顶点(点)覆盖:用最少的点,让每条边都至少和其中一个点关联
最大独立集:在N个点的图中选出m个点,使这m个点两两之间没有边的点中,m的最大值
二分图匹配模型,二分图有如下几种常见变形:
1.二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(x或y中的都行),让每条边都至少和其中一个点关联
knoig定理:二分图中最小顶点覆盖等于最大匹配数
2.DAG图中的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖DAG的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题
结论:DAG图中的最小路径覆盖数 = 节点数(n)-最大匹配数(m)
3.二分图的最大独立集
最大独立问题:在n个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边,求m的最大值
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)-最大匹配数(m)
有一种很经典的二分图模型,在一个n*n的矩阵中,这个矩阵里面有k个障碍物,你拥有一把武器,一发弹药一次能消灭一行或者一列的障碍物,求消灭全部障碍物所需的最少弹药数。
可以这样考虑:我们以所有行为二分图的左顶点,所有的列为右顶点,那么如果位于坐标p(x,y)有障碍物,我们就连一条边,然后我们只需要最少的顶点覆盖所有的边即可。这样就是二分图的最小顶点覆盖问题了,我们又知道最大小顶点等于二分图最大匹配。
时间复杂度:
邻接矩阵: O(n 3) 邻接表: O(nm)
空间复杂度:
邻接矩阵: O(n 2) 邻接表:O(n+m)
/****************************************************二分图匹配(匈牙利算法的DFS实现)INIT:g[][]两边定点划分的情况CALL:res=hungary();输出最大匹配数优点:适于稠密图,DFS找增广路快,实现简洁易于理解时间复杂度:O(VE);****************************************************/const int MAXN=1000;int uN,vN; //u,v数目int g[MAXN][MAXN];//编号是0~n-1的 int linker[MAXN];bool used[MAXN];bool dfs(int u){ int v; for(v=0;v